最大公因数
例子
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54和24的最大公因数是多少？
数字54可以表示为几组不同正整数的乘积：
54
=
1
×
54
=
2
×
27
=
3
×
18
=
6
×
9
{\displaystyle 54=1\times 54=2\times 27=3\times 18=6\times 9}
故54的正因数为
1
,
2
,
3
,
6
,
9
,
18
,
27
,
54
{\displaystyle 1,2,3,6,9,18,27,54}
。
同样地，24可以表示为：
24
=
1
×
24
=
2
×
12
=
3
×
8
=
4
×
6
{\displaystyle 24=1\times 24=2\times 12=3\times 8=4\times 6}
故24的正因数为
1
,
2
,
3
,
4
,
6
,
8
,
12
,
24
{\displaystyle 1,2,3,4,6,8,12,24}
。
这两组数列中的共同元素即为54和24的公因数：
1
,
2
,
3
,
6
{\displaystyle 1,2,3,6}
其中的最大数6即为54和24的最大公因数，记为：
gcd
(
54
,
24
)
=
6
{\displaystyle \gcd(54,24)=6}
互质数
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如果两数的最大公因数为1，那么这两个数互质。例如，9和28就是互质数。
几何角度的说明
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24乘60的矩形被十个12乘12的正方形格子完全覆盖，即12为24和60的最大公因数。推而广之，如果c是a和b的最大公因数，那么a乘b的矩形就可以被若干个边长为c的正方形格子完全覆盖。
假设有一个大小为24乘60的矩形区域，这个区域可以按照不同的大小划分正方形网格：1乘1、2乘2、3乘3、4乘4、6乘6、12乘12。因此，12是24和60的最大公因数。大小为24乘60的矩形区域，可以按照12乘12的大小划分正方形网格，一边有两格（
24
12
=
2
{\displaystyle {\frac {24}{12}}=2}
）、另一边有五格（
60
12
=
5
{\displaystyle {\frac {60}{12}}=5}
）。